[Дилетант]

Господи-Боже-мой...
Ребеночек по алгебре проходит теорию чисел...
По-моему, им отксерили четыре листа Сканави для самостоятельного решения...
Задач эдак 70-80...
На каждую у меня уходит где-то по полчаса. Извилины скрипят так, что боюсь весь дом скоро сбежится.
А самое ужасное, что некоторые задачи ВООБЩЕ НЕ МОГУ РЕШИТЬ (((((((((((((((

Мало того, что полностью потеряла последние остатки лица в глазах дитяти, так ведь еще даже если и решаю, на объяснение уходят мегатонны нервов...
В сообщество выкладывать стыдно...
Что делать, прям не знаю...
Походить самой к репетитору?

Comments

[Sensile]

А почему бы не выложить в сообщество? (в еек)
Ты там столько помогаешь..
Обязательно выкладывай.

[Sensile]

Найдите все простые числа, являющиеся одновременно суммами и разностями двух простых чисел ))))

Мысли такие: если в сумме и разности участвуют два числа простых нечетных, то сумма и разность - четное число, а единственное четное число, это два Но два в виде суммы простых чисел не представить
Значит данное число равно сумме простых разной четности и разности простых разной четности. Но единственное простое четное число 2
Значит, данное число можно представить в виде р+2 и q-2. где р и q - нечетные простые числа
далее не придумала пока

[Sensile]

Докажите, что четырехзначное число, не имеющее делитетлей меньших 100, простое..

Это теорема есть
Если число N не имеет простых делителей, не превышающих sqrt(N), то оно простое
А можно в лоб. Предположим противное, что четырехзначное число N составное
N=ac. Если а=>100 и одновременно с=>100, то ас=>10000, то есть N является пятизначным, а оно четырехзначное, отсюда хотя бы одно из чисел меньше 100 и мы получаем противоречие

[Sensile]

2. Может ли сумма цифр квадрата целого числа равняться 1991?
pay.diary.ru/~eek/?comments&postid=36764435#

[Sensile]

4. Докажите, что
n^5/120+n^4/12+7n^3/24+5n^2/12+n/5
при любом целом n есть число целое.

Для этого нужно доказать, что
n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n делится на 120, то есть делится одновременно на 3, 5 и 8
И делать это постепенно
Например, на 3
n^5+n^4-n^3-n^2+(24n +9n^4+36n^3+51n^2)
То, что стоит в скобках на 3 делится, осталось доказать, что n^5+n^4-n^3-n^2 делится на 3
n^5+n^4-n^3-n^2=n^4(n+1)-n^2(n+1)=(n+1)(n^4-n^2)=n^2(n^2-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)n(n+1)
Данное произведение содержит произведение 3 последовательных чисел и потому делится на 3

[Sensile]

Кстати

3. Существует ли число, десятичная запись которого содержит шесть единиц и семь нулей, являющееся квадратом целого числа?

такое же, как и два
Сумма цифр этого числа делится на 3, но не делится на 9

[Дилетант]

Sensile
Спасибо тебе огромное!
У меня первая мысль была просто сфотографировать эти 74 задачи и выложить в сообщество
Так сказать, для примера )))
Но ты же понимаешь, кроме решателей "юмора" всё равно никто не оценит...
А мне вашего времени жалко.
Я не знаю, с какой целью этот "лучший учитель города" это делает, потому что объясняет он безобразно: дети гораздо более простых вещей понять не могут... Каждый вечер у меня то алгебра то геометрия на повестке дня... А он за час репетиторства берет 300 рэ.
Приятно, конечно, что мы столько экономим, но не более того )))

Выложенные здесь задачи — это те, до которых я вчера еще не добралась. Просто по порядку переписывала. Поэтому и не хотелось вас грузить, прежде чем сама не уткнусь в свою неспособность решить...

В целом же мне кажется, это "кружковые" задачи! Собираешь детей, которым интересно, и решаешь с ними до потери пульса. А не так, что один урок невнятно объясняешь, а на втором контрольная. И у всего класса пары.
Если у тебя весь класс двоечники, стоит всё-таки задуматься о качестве преподавания (((((

Еще раз огромное тебе спасибо!!!

[Дилетант]

Sensile

Значит, данное число можно представить в виде р+2 и q-2. где р и q - нечетные простые числа
далее не придумала пока

Смотри, что я придумала: это число должно стоять между p и q и отличаться от них на 2.
Т.е. получается ряд: 1) p, 2) наше число, равное p+2 (= q-2), 3) q (=p+4).
А этого быть не может: среди трех нечетных чисел, идущих подряд, одно обязательно делится на 3.

Значит, единственным подходящим числом остается сама двойка (если мы примем единицу тоже за простое число, хотя, конечно, это неверно). Разность, равную 2, можно получить многими способами, а сумму: 1+1.

[Robot]

Дилетант
1 не является простым числом

среди трех нечетных чисел, идущих подряд, одно обязательно делится на 3.

А почему?
Среди трех последовательных натуральных чисел, одно обязательно делится на три, а вот среди посл. нечетных?

[Sensile]

Ой, извини, по привычке вбила Робота
А задачи типично олимпиадно-кружковые

[Sensile]

среди трех нечетных чисел, идущих подряд, одно обязательно делится на 3.

Да это доказывается
Пусть числа 2n+1, 2n+3, 2n+5 Число n при делении на 3 может давать остатки 0, 1, 2
Перебираем n=3k,3k+1, 3k+2

[Sensile]

Значит, единственный вариант 3, 5, 7

[Дилетант]

Sensile

Среди трех последовательных натуральных чисел, одно обязательно делится на три, а вот среди посл. нечетных?

Здорово, правда? )))
Теория чисел великая вещь! )))

Точно, про 3, 5, 7 я и не подумала...
Как до этого может додуматься средний школьник, ума не приложу...
Особенно, если учесть, что в сутках 24 часа, а домашние задания и по остальным предметам немаленькие...

[Sensile]

Дилетант
Каждый учитель думает, что его предмет единственный(((
В общем, что не получается - выкладывай в сообщество. Там такие задачи любят

[Дилетант]

Sensile

Перебираем n=3k,3k+1, 3k+2

Вот на ЭТО я вчера потратила самое большое количество времени:
на объяснения разложения натурального ряда на двойки: четные-нечетные; тройки: 3n, 3n+1 и 3n+2; на запись числа, делящегося на 2, но не делящегося на 4: 2(2n+1). А там дальше было и похуже: число не делится на 6, или еще что-нибудь...
Такую "каноническую" запись мне, кажется, не умея абстрагироваться, вообще придумать нельзя. А этому в школе-то не учат...
А еще предположим задачка: выписать ВСЕ делители числа: 2^3*3^3*5^3.
Это, пардон, трехмерную матрицу надо составлять!
А это задание было у них в классе на самостоятельной работе!

[Дилетант]

Sensile

Там такие задачи любят

Я и сама такие задачи люблю ))))
Просто еще раз говорю: люди там все занятые, мне стыдно просто...
Хотя, вместе, конечно, веселее )))))))

[Sensile]

2^3*3^3*5^3

Делителей будет (3+1)(3+1)(3+1)=64
а чтобы выписать их все используется след прием
(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2+3^3)(1+5+5^2+5^3)
Если перемножать все это не складывая, то слагаемые как раз дадут все делители.
Но это очень громоздкая задача
УжОс!
Учитель - сумасшедший.
А насчет сообщества: такие задачки - они интересные, это не то, что матрицы "решать".
Поэтому мне кажется, откликнутся и те, кто обычно себя не проявляет
И потом - ты столько делаешь! Ну почему бы не выложить?

[Дилетант]

Sensile насчет делителей.
Вот представь. Открываю я тетрадку. Там в качестве примера они искали все делители числа 1000.
1000=2^3*5^3.
И дальше СЛОВАМИ написано: из таблицы 4х4 получаем все множители! И всё!!!
Я потратила фиг знает сколько времени, чтоб сначала самой понять, что он имеет в виду, а потом объяснить.
Красиво, конечно. Получается двумерная табличка: как таблица умножения — вверху, по столбцам у нас будут идти, предположим, все степени двойки, а слева, по строкам все степени пятерки.
Получаем таблицу 4х4 и в ней выписаны все множители

________2^0_________2^1_______2^2_______2^3
5^0____2^0*5^0____2^1*5^0____2^2*5^0_____2^3*5^0
5^1____2^0*5^1____2^1*5^1____2^2*5^1_____2^3*5^1
5^2____2^0*5^2____2^1*5^2____2^2*5^2_____2^3*5^2
5^3____2^0*5^3____2^1*5^3____2^2*5^3_____2^3*5^3

А вот на самостоятельной надо было построить такое же для трех степеней!
А это, пардон, не одна таблица, а целых ЧЕТЫРЕ плоских таблицы!
И как ребенку до этого додуматься?

[Sensile]

Да уж!
Куб надо строить(((

[Дилетант]

Sensile вот и я же о чем! Трехмерная матрица! )))

[Гость]

Привет из Израиля!
Первый пример решила (коряво ))
1. 49^100 – оканчивается на 1 (т.к. 9*9=81 четное число раз), т.о. 49^100=X*10+1

2. 14^50=2^50 * 7^50

2a. 2^50=4*4^24=4*16^12
16^12 оканчивается на 6 (6*6=36 четное число раз) = Y*10+6
4*16^12 = 4 * (Y*10 + 6)=40Y + 24 – оканчивается на 4 = Z*10+4

2b. 7^50=49^25 = 49* 49^24; 49^24 оканчивается на 1 (см. п.1), т.о. 49*49^24 оканчивается на 9 = W*10+9

2c. 14^50=(Z*10+4)*(W*10+9)=U*10+6
49^100 – 14^50 = X*10+1 – (U*10+6)=10(X-U)-5=5*(2*(X-U)-1) – делится на 5 ))

А.

[Гость]

Ой, переносы удалились, попробую так:
1. 49^100 – оканчивается на 1 (т.к. 9*9=81 четное число раз), т.о. 49^100=X*10+1
2. 14^50=2^50 * 7^50
2a. 2^50=4*4^24=4*16^12
16^12 оканчивается на 6 (6*6=36 четное число раз) = Y*10+6
4*16^12 = 4 * (Y*10 + 6)=40Y + 24 – оканчивается на 4 = Z*10+4
2b. 7^50=49^25 = 49* 49^24; 49^24 оканчивается на 1 (см. п.1), т.о. 49*49^24 оканчивается на 9 = W*10+9
2c. 14^50=(Z*10+4)*(W*10+9)=U*10+6
49^100 – 14^50 = X*10+1 – (U*10+6)=10(X-U)-5=5*(2*(X-U)-1) – делится на 5

[Дилетант]

Гость фигасе! Как раз для восьмого класса задачка! )))

Привет Израилю )))

[Гость]

А вот еще)
3. Докажите, что четырехзначное число, не имеющее делителей меньших 100, простое
Любое четырехзначное число <=9999
Допуcтим, у некого числа X есть делитель D1>=100;
Обозначим 2-й делитель D2
D1*D2<=9999
Подставим 100<=D1
100*D2<=D1*D2<=9999
100*D2<=9999
Тогда D2 <= 9999/100 = 99.99 меньше 100, что противоречит условию.

[Гость]

4. Выписаны подряд натуральные числа от 1 до 300. Докажите, что полученное число делится на 3. Верно ли, что оно делится на 9?
Если не ошиблась в вычислениях, то так:

Найдем сумму цифр полученного числа
1-й десяток:
0 (0 для общности) +1+2+...+9=45
2-й десяток: каждое число добавляет к предыдущей сумме 1: (10,11,12...19)
45 +1*10
3-й десяток: каждое число добавляет к предыдущей сумме 2: (20,21,22...29)
45+ 2*10
....
10-й десяток:
45+ 9*10
Т.о. 1-я сотня:
45*10+(1+2+...+9)*10=45*10+45*10=90*10=900
2-я сотня: каждое число (их всего 100) добавляет 1: (100,101...199)
900+100=1000
3-я сотня: каждое число добавляет 2: (200..299)
900+2*100=1100
Плюс само 300 добаляет к сумме 3
Т.о. сумма всех цифр=900+1000+1100+3=3003
На 3 делится, а на 9 - нет.

[Дилетант]

Гость
Спасибо )))
А вообще это ужас какой-то!
(((((((((
Сегодня еще хуже чем вчера! Решаем диофантовы уравнения. Я не могу (((
И геометрию тоже не осиливаю...

[chebur12]

Дилетант а что такое "диофантовы"

[Дилетант]

chebur12 диофантовы, Чебур, это мой крест ((((
Это уравнение с кучей переменных и с целыми коэффициентами. И решения у него могут быть только целыми.
Вот в теореме Ферма тоже фигурирует диофантово уравнение...
Мне, правда, выпали линейные. Вида:
ах+by=c

Считаются по алгоритму Евклида. Но у меня мозги от него сворачиваются в трубочку... ((

А еще геометрия...
Так паршиво я себя уже сто лет не чувствовала ((
Полный тормоз.

[chebur12]

Дилетант интересно, а что же делают дети у которых родители не математики

[chebur12]

Дилетант а он им объяснял... Ну .ээ.. классные записи уроков есть?